Fue hijo de Francisco Moncayo Casillas y Juana García López. Estudia piano con Eduardo Hernández Moncada y posteriormente ingresa al Conservatorio Nacional de Música en 1929. Sus maestros en esta institución fueron Candelario Huízar y Carlos Chávez, de armonía y composición respectivamente. En esta época se ve obligado a tocar como pianista en cafés y estaciones de radio para contribuir a la economía familiar y para poder pagar sus estudios, hasta que ingresa como percusionista a la Orquesta Sinfónica Nacional dirigida por Carlos Chávez.
Contrajo matrimonio con Clara Elena Rodríguez del Campo, con la que tuvo dos hijas: Claudia y Clara Elena. También estudió en 1942 con el compositor Aaron Copland, esto gracias a una beca que ganó por el Instituto Berkshire. Uno de los primeros trabajos profesionales de Moncayo fue como percusionista de la Orquesta Sinfónica Nacional la cual posteriormente dirigió de 1949 a 1954.
En 1935 forma el "Grupo de los Cuatro" con Blas Galindo, Salvador Contreras y Daniel Ayala Pérez para difundir sus obras las cuales reflejan el espíritu nacionalista de México.
El Huapango de Moncayo es un arreglo para orquesta sinfónica de tres sones provenientes de la rica tradición musical del Estado de Veracruz. "El Siquisiri", "El Balajú" y "El Gavilancito". A lo largo de la obra podemos encontrar una de las más famosas formas de presentar los sonidos de México.
